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深入学习二叉树(一) 二叉树基础
南易_站长
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深入学习二叉树(一) 二叉树基础
转载: 原文链接:https://www.jianshu.com/p/bf73c8d50dc2 ### 前言 **树**是数据结构中的重中之重,尤其以各类二叉树为学习的难点。一直以来,对于树的掌握都是模棱两可的状态,现在希望通过写一个关于二叉树的专题系列。在学习与总结的同时更加深入的了解掌握二叉树。本系列文章将着重介绍一般二叉树、完全二叉树、满二叉树、[线索二叉树](https://www.jianshu.com/p/3965a6e424f5)、[霍夫曼树](https://www.jianshu.com/p/5ad3e97d54a3)、[二叉排序树](https://www.jianshu.com/p/bbe133625c73)、平衡二叉树、红黑树、B树。希望各位读者能够关注专题,并给出相应意见,通过系列的学习做到心中有“树”。 ### 1 重点概念 #### 1.1 结点概念 **结点**是数据结构中的基础,是构成复杂数据结构的基本组成单位。 #### 1.2 树结点声明 本系列文章中提及的结点专指树的结点。例如:结点A在图中表示为: ![null](//upload-images.jianshu.io/upload_images/7043118-65320a245aa1e60e.png?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/54/format/webp) ### 2 树 #### 2.1 定义 **树(Tree)**是n(n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中: 1)有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点; 2)当n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、......、Tn,其中每一个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树。 此外,树的定义还需要强调以下两点: 1)n>0时根结点是唯一的,不可能存在多个根结点,数据结构中的树只能有一个根结点。 2)m>0时,子树的个数没有限制,但它们一定是互不相交的。 示例树: 图2.1为一棵普通的树: ![null](//upload-images.jianshu.io/upload_images/7043118-2c735a2733887dc3.png?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/502/format/webp) 图2.1 普通树 由树的定义可以看出,树的定义使用了递归的方式。递归在树的学习过程中起着重要作用,如果对于递归不是十分了解,建议先看看[递归算法](https://blog.csdn.net/feizaosyuacm/article/details/54919389) #### 2.2 结点的度 结点拥有的子树数目称为结点的**度**。 图2.2中标注了图2.1所示树的各个结点的度。 ![null](//upload-images.jianshu.io/upload_images/7043118-cfa7c45bb8f1e332.png?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/535/format/webp) 图2.2 度示意图 ##### 2.3 结点关系 结点子树的根结点为该结点的**孩子结点**。相应该结点称为孩子结点的**双亲结点**。 图2.2中,A为B的双亲结点,B为A的孩子结点。 同一个双亲结点的孩子结点之间互称**兄弟结点**。 图2.2中,结点B与结点C互为兄弟结点。 ##### 2.4 结点层次 从根开始定义起,根为第一层,根的孩子为第二层,以此类推。 图2.3表示了图2.1所示树的层次关系 ![null](//upload-images.jianshu.io/upload_images/7043118-7c9318a6f5c1349d.png?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/652/format/webp) 图2.3 层示意图 ##### 2.5 树的深度 树中结点的最大层次数称为树的深度或高度。图2.1所示树的深度为4。 ### 3 二叉树 #### 3.1 定义 **二叉树**是n(n>=0)个结点的有限集合,该集合或者为空集(称为空二叉树),或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。 图3.1展示了一棵普通二叉树: ![null](//upload-images.jianshu.io/upload_images/7043118-797eb7ba417745b2.png?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/455/format/webp) 图3.1 二叉树 #### 3.2 二叉树特点 由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点: 1)每个结点最多有两颗子树,所以二叉树中不存在度大于2的结点。 2)左子树和右子树是有顺序的,次序不能任意颠倒。 3)即使树中某结点只有一棵子树,也要区分它是左子树还是右子树。 #### 3.3 二叉树性质 1)在二叉树的第i层上最多有2i-1 个节点 。(i>=1) 2)二叉树中如果深度为k,那么最多有2k-1个节点。(k>=1) 3)n0=n2+1 n0表示度数为0的节点数,n2表示度数为2的节点数。 4)在完全二叉树中,具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1,其中[log2n]是向下取整。 5)若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号,则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性: > (1) 若 i=1,则该结点是二叉树的根,无双亲, 否则,编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点; > (2) 若 2i>n,则该结点无左孩子, 否则,编号为 2i 的结点为其左孩子结点; > (3) 若 2i+1>n,则该结点无右孩子结点, 否则,编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。 #### 3.4 斜树 **斜树**:所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。 ![null](//upload-images.jianshu.io/upload_images/7043118-a512316455261ec7.png?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/373/format/webp) 图3.2 左斜树 ![null](//upload-images.jianshu.io/upload_images/7043118-352190ff8558efcb.png?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/342/format/webp) 图3.3 右斜树 #### 3.5 满二叉树 **满二叉树**:在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子都在同一层上,这样的二叉树称为满二叉树。 满二叉树的特点有: 1)叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。 2)非叶子结点的度一定是2。 3)在同样深度的二叉树中,满二叉树的结点个数最多,叶子数最多。 ![null](//upload-images.jianshu.io/upload_images/7043118-c7a557dda4ffc7da.png?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/392/format/webp) 图3.4 满二叉树 #### 3.6 完全二叉树 **完全二叉树**:对一颗具有n个结点的二叉树按层编号,如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同,则这棵二叉树称为完全二叉树。 图3.5展示一棵完全二叉树 ![null](//upload-images.jianshu.io/upload_images/7043118-132fd0379f34bcc1.png?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/404/format/webp) 图3.5 完全二叉树 **特点**: 1)叶子结点只能出现在最下层和次下层。 2)最下层的叶子结点集中在树的左部。 3)倒数第二层若存在叶子结点,一定在右部连续位置。 4)如果结点度为1,则该结点只有左孩子,即没有右子树。 5)同样结点数目的二叉树,完全二叉树深度最小。 **注**:满二叉树一定是完全二叉树,但反过来不一定成立。 #### 3.7 二叉树的存储结构 ##### 3.7.1 顺序存储 二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点,并且结点的存储位置,就是数组的下标索引。 ![null](//upload-images.jianshu.io/upload_images/7043118-3293242769696303.png?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/441/format/webp) 图3.6 图3.6所示的一棵完全二叉树采用顺序存储方式,如图3.7表示: ![null](//upload-images.jianshu.io/upload_images/7043118-e916580c061a1139.png?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/596/format/webp) 图3.7 顺序存储 由图3.7可以看出,当二叉树为完全二叉树时,结点数刚好填满数组。 那么当二叉树不为完全二叉树时,采用顺序存储形式如何呢?例如:对于图3.8描述的二叉树: ![null](//upload-images.jianshu.io/upload_images/7043118-92d8a8d61c2aace7.png?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/440/format/webp) 图3.8.png 其中浅色结点表示结点不存在。那么图3.8所示的二叉树的顺序存储结构如图3.9所示: ![null](//upload-images.jianshu.io/upload_images/7043118-d6cd02856b386d6d.png?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/448/format/webp) 图3.9 其中,∧表示数组中此位置没有存储结点。此时可以发现,顺序存储结构中已经出现了空间浪费的情况。 那么对于图3.3所示的右斜树极端情况对应的顺序存储结构如图3.10所示: ![null](//upload-images.jianshu.io/upload_images/7043118-0ada42b04e0861a8.png?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/700/format/webp) 图3.10 由图3.10可以看出,对于这种右斜树极端情况,采用顺序存储的方式是十分浪费空间的。因此,顺序存储一般适用于完全二叉树。 ##### 3.7.2 二叉链表 既然顺序存储不能满足二叉树的存储需求,那么考虑采用链式存储。由二叉树定义可知,二叉树的每个结点最多有两个孩子。因此,可以将结点数据结构定义为一个数据和两个指针域。表示方式如图3.11所示: ![null](//upload-images.jianshu.io/upload_images/7043118-95cd18e8cc20316e.png?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/315/format/webp) 图3.11 定义结点代码: ```cpp typedef struct BiTNode{ TElemType data;//数据 struct BiTNode *lchild, *rchild;//左右孩子指针 } BiTNode, *BiTree; ``` 则图3.6所示的二叉树可以采用图3.12表示。 ![null](//upload-images.jianshu.io/upload_images/7043118-73ae201506a7adc9.png?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/688/format/webp) 图3.12 图3.12中采用一种链表结构存储二叉树,这种链表称为二叉链表。 #### 3.8 二叉树遍历 二叉树的遍历一个重点考查的知识点。 ##### 3.8.1 定义 **二叉树的遍历**是指从二叉树的根结点出发,按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点,使得每个结点被访问一次,且仅被访问一次。 二叉树的访问次序可以分为四种: > 前序遍历 > 中序遍历 > 后序遍历 > 层序遍历 ##### 3.8.2 前序遍历 **前序遍历**通俗的说就是从二叉树的根结点出发,当第一次到达结点时就输出结点数据,按照先向左在向右的方向访问。 ![null](//upload-images.jianshu.io/upload_images/7043118-df454c0a574836de.png?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/441/format/webp) 3.13 图3.13所示二叉树访问如下: > 从根结点出发,则第一次到达结点A,故输出A; > 继续向左访问,第一次访问结点B,故输出B; > 按照同样规则,输出D,输出H; > 当到达叶子结点H,返回到D,此时已经是第二次到达D,故不在输出D,进而向D右子树访问,D右子树不为空,则访问至I,第一次到达I,则输出I; > I为叶子结点,则返回到D,D左右子树已经访问完毕,则返回到B,进而到B右子树,第一次到达E,故输出E; > 向E左子树,故输出J; > 按照同样的访问规则,继续输出C、F、G; 则3.13所示二叉树的前序遍历输出为: **ABDHIEJCFG** ##### 3.8.3 中序遍历 **中序遍历**就是从二叉树的根结点出发,当第二次到达结点时就输出结点数据,按照先向左在向右的方向访问。 图3.13所示二叉树中序访问如下: > 从根结点出发,则第一次到达结点A,不输出A,继续向左访问,第一次访问结点B,不输出B;继续到达D,H; > 到达H,H左子树为空,则返回到H,此时第二次访问H,故输出H; > H右子树为空,则返回至D,此时第二次到达D,故输出D; > 由D返回至B,第二次到达B,故输出B; > 按照同样规则继续访问,输出J、E、A、F、C、G; 则3.13所示二叉树的中序遍历输出为: **HDIBJEAFCG** ##### 3.8.4 后序遍历 **后序遍历**就是从二叉树的根结点出发,当第三次到达结点时就输出结点数据,按照先向左在向右的方向访问。 图3.13所示二叉树后序访问如下: > 从根结点出发,则第一次到达结点A,不输出A,继续向左访问,第一次访问结点B,不输出B;继续到达D,H; > 到达H,H左子树为空,则返回到H,此时第二次访问H,不输出H; > H右子树为空,则返回至H,此时第三次到达H,故输出H; > 由H返回至D,第二次到达D,不输出D; > 继续访问至I,I左右子树均为空,故第三次访问I时,输出I; > 返回至D,此时第三次到达D,故输出D; > 按照同样规则继续访问,输出J、E、B、F、G、C,A; 则图3.13所示二叉树的后序遍历输出为: **HIDJEBFGCA** 虽然二叉树的遍历过程看似繁琐,但是由于二叉树是一种递归定义的结构,故采用递归方式遍历二叉树的代码十分简单。 递归实现代码如下: ```cpp /*二叉树的前序遍历递归算法*/ void PreOrderTraverse(BiTree T) { if(T==NULL) return; printf("%c", T->data); /*显示结点数据,可以更改为其他对结点操作*/ PreOrderTraverse(T->lchild); /*再先序遍历左子树*/ PreOrderTraverse(T->rchild); /*最后先序遍历右子树*/ } /*二叉树的中序遍历递归算法*/ void InOrderTraverse(BiTree T) { if(T==NULL) return; InOrderTraverse(T->lchild); /*中序遍历左子树*/ printf("%c", T->data); /*显示结点数据,可以更改为其他对结点操作*/ InOrderTraverse(T->rchild); /*最后中序遍历右子树*/ } /*二叉树的后序遍历递归算法*/ void PostOrderTraverse(BiTree T) { if(T==NULL) return; PostOrderTraverse(T->lchild); /*先后序遍历左子树*/ PostOrderTraverse(T->rchild); /*再后续遍历右子树*/ printf("%c", T->data); /*显示结点数据,可以更改为其他对结点操作*/ } ``` ##### 3.8.5 层次遍历 层次遍历就是按照树的层次自上而下的遍历二叉树。针对图3.13所示二叉树的层次遍历结果为: **ABCDEFGHIJ** 层次遍历的详细方法可以参考[二叉树的按层遍历法](https://blog.csdn.net/lingchen2348/article/details/52774535)。 ##### 3.8.6 遍历常考考点 对于二叉树的遍历有一类典型题型。 1)已知前序遍历序列和中序遍历序列,确定一棵二叉树。 例题:若一棵二叉树的前序遍历为ABCDEF,中序遍历为CBAEDF,请画出这棵二叉树。 分析:前序遍历第一个输出结点为根结点,故A为根结点。早中序遍历中根结点处于左右子树结点中间,故结点A的左子树中结点有CB,右子树中结点有EDF。 如图3.14所示: ![null](//upload-images.jianshu.io/upload_images/7043118-8c94f437f66b5d44.png?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/438/format/webp) 图3.14 按照同样的分析方法,对A的左右子树进行划分,最后得出二叉树的形态如图3.15所示: ![null](//upload-images.jianshu.io/upload_images/7043118-63b9acd9dc69201b.png?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/381/format/webp) 图3.15.png 2)已知后序遍历序列和中序遍历序列,确定一棵二叉树。 后序遍历中最后访问的为根结点,因此可以按照上述同样的方法,找到根结点后分成两棵子树,进而继续找到子树的根结点,一步步确定二叉树的形态。 **注**:已知前序遍历序列和后序遍历序列,不可以唯一确定一棵二叉树。 ### 4 结语 通过上述的介绍,已经对于二叉树有了初步的认识。本篇文章介绍的基础知识希望读者能够牢牢掌握,并且能够在脑海中建立一棵二叉树的模型,为后续学习打好基础。 **更多有关树的专题请移步** [树专题](https://xiaozhuanlan.com/topic/5036471892) 作者:MrHorse1992 链接:https://www.jianshu.com/p/bf73c8d50dc2 来源:简书 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。
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